Algebra

Brincando
com Álgebra

Adivinhações:

Pense em um número inteiro entre 10 e 19,

mas não me diga qual é.

Some os dois algarismos. Agora,
subtraia essa soma do número que você pensou.

Espere um pouco!!!

Agora eu vou adivinhar o resultado que você
encontrou

Oresultado é nove! Certo?

Multiplique sua idade por 4

Soma

20 ao resultado encontrado anteriormente

Subtraia
o dobro da sua idade com o valor encentrado anteriormente

Tire
10 do resultado encontrado

Some
o triplo da sua idade com o resultado encontrado

Agora
fale qual foi o valor encontrado depois de todas essas operações.

                                          

Se você fizer essas pequenas mágicas com um colega ou uma pessoa de sua família, vai causar surpresa. Isso porque, mesmo sem conhecer o número pensado, você acha o resultado!
Mas, o que parece mágica é na verdade uma aplicação á álgebra.

Quer saber como isso é acontece? Se a resposta for sim, então
continue lendo esse texto e você não só encontrará a explicação desta e de outras adivinhações, como também aprenderá a fazer a sua própria adivinhação para surpreender seus amigos, e ainda aprenderá algumas técnicas para aprender a fazer cálculos de cabeça.

Para começar vamos fazer uma pequena revisão dos conteúdos que você provavelmente já conhece, os quais são fundamentais para o entendimento de polinômios um tema tão “fantástico e mágico”.

Operações

fundamentais com números

  Adição

 A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. Esta operação nada mais éque o ato de adicionar ou adir algo. É reunir todas as frações ou totalidades de algo.

 A adição é chamada de operação. A soma dos números chamamos de resultado da operação.

 Relembrar:
10 + 5 = 15

 10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de adição. A operação realizada acima
denomina-se, então, ADIÇÃO.

A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +.
 Para calcular a adição, colocamos os números em ordem de unidade, dezena, centena e milhar. Feito isto pode ser efetuada a soma da operação adição. Exemplo:  

1.253+ 2.715

MILHAR	CENTENA	DEZENA	UNIDADE
1	2	5	3
2	7	1	5

Resultado:
Adiciona-se 1 milhar a 2 milhares = 3 milhares (3 mil), adiciona-se 2
centenas a 7 centenas (9 centenas), adiciona-se 5 dezenas a 1 dezena
(6 dezenas), adiciona-se 3 unidades a 5 unidades(8 unidades), então
3.968 é o resultado (ou seja, a soma) da operação
adição dos números 1.253+2.715.

 Diante da operação de adição, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:

 1) Observe: 4 + 5 = 9 4 + 5 = 5 + 4 onde 5 + 4 = 9 Deduz-se :

1. 4+ 5 e 5 + 4 possuem a mesma soma.
2. As ordens das parcelas não alteram o resultado da soma.
3. A propriedade que permite trocar ou mudar (comutar, permutar) a ordem das parcelas é a propriedade comutativa.
   

A propriedade comutativa da adição é representada pela sentença: a + b = b + a e é denominada comutativa da adição.

2) Consideramos três parcelas 5, 4, 2, assim são indicadas: (5+4)+2. Efetuando a operação de adição entre parênteses temos o resultado a soma 9, na seqüência adicionamos a número 2, e mediante isto temos o resultado final a soma 11.
 Isto é: (5+4) + 2 = 11 (resultado soma final)
 Observe, agora, a soma final conforme outra indicação:
 5 + (4+2) = 11 (resultado soma final).

 Deduz-se :

 Na adição de três parcelas, é indiferente associar as duas primeiras e posteriormente a terceira, ou associar as duas últimas e posteriormente associar a primeira. Esta propriedade tem como denominação propriedade associativa.
 Assim fixa-se esta propriedade: a + (b+c) = (a+c) + b

3) Tendo como base os últimos exemplos, conclui-se que existe um número que não altera a o resultado final da soma, mesmo comutando a ordem das parcelas. Este número é o zero (0).
 Assim fixa-se esta propriedade: a+0 = 0+a = a (Neutro da adição)

  Subtração 

A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir alguma coisa. O resultado desta operação de subtração denomina-se diferença ou resto.

 Relembrar: 9 – 5 = 4
 Essa igualdade tem como resultado a subtração.
 Os números 9 e 5 são os termos da diferença 9-5. Ao número 9 dar-se o nome de minuendo e 5 é o subtraendo.
 O valor da diferença 9-5 é 4, este número é chamado de resto ou excedente de 9 sobre 5.
Veja as análises abaixo:

1. 10 – 10 = 0 > O minuendo pode ser igual ao subtraendo.
2. 9 – 11> é impraticável em N, é o mesmo que escrever 9 – 11 não pertence N.  
   
   Assim, o subtraendo deve ser menor ou igual ao minuendo, para que uma operação de subtração se realize em N.
   
   A operação de subtração nem sempre é viável entre dois números naturais. Então, é necessário que em uma subtração em N, o minuendo seja maior ou igual ao subtraendo.

Diante da operação de subtração, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:

1. O conjunto N não é fechado em relação à operação de subtração, pois 4 – 5 não pertence a N.
2. A subtração
   em N não possui elemento neutro em relação à operação de subtração: 6 – 0 = 6  Entretanto: 0 – 6 ≠ 6
   
   
   Logo: 0 –6 ≠ 6 -0
   
    A subtração no conjunto N não admite propriedade comutativa, pois: 4 –5 ≠ 5 – 4
   
   
   
3. A subtraçãono conjunto N não aceita a propriedade associativa, pois (10– 4) – 2 ≠ 10 – (4-2)  
   
   A operação de subtração pode ser considerada como a operação inversa da adição.

 Considerando:

7 + 2 = 9 “equivale a” 7= 9 – 2
7 + 2 = 9 “equivale a” 2= 9 - 7

Concluindo: a) A subtração é inversa a adição. b) Uma das parcelas é igual a soma menos a outra.

Observe esta sentença:

Y + a = c ou a + y = c

Suponha que a e c são dois números naturais conhecidos e x também é um número natural, mas desconhecido. De que modo é possível calcular o valor de x?

Desta forma: a + c = a ou a + y = c > y = a - c

* Multiplicação

É a ação de multiplicar. Denomina-se a operação matemática, que consiste em repetir um número, chamado multiplicando, tantas vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro número que representa o produto dos dois.

Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto é o resultado da operação multiplicação; e os fatores são os números que participam da operação.

a. b = c a.b > fatores c > produto da operação.

De um modo mais amplo e um pouco avançado, podemos expressar:

A + a = a x 2 ou a.2 ou simplesmente 2a

Y + y +y = y x 3 ou y.3 ou simplesmente 3y

W+w+w+w+w+w = w x 6 ou w.6 ou simplesmente 6w

Diante da operação da multiplicação, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:

1. a
   propriedade que permite comutar (ou trocar/mudar) a ordem dos
   fatores é a propriedade comutativa, no caso da operação
   de multiplicação e pode ser assim simbolizada:
   
   
   a . b = b . a ou
   a x b = b x a Comutativa da multiplicação
   
   
   
2. para fazer o
   cálculo 4.5.6, pode ser usado este caminho :
   
   
   (4.5) . 6 >
   Calcula-se primeiro o que se encontra dentro dos parênteses
   (que é 20), em seguida multiplica-se por 6, dando o resultado
   = 120
   
   A essa regra de
   associar fatores da operação multiplicação
   chama-se associativa da multiplicação.
   
   
   
3. A
   propriedade comutativa nos permite que seja usado:
   
   
   1 . x = x ou x.1
   = x
   
   
   É fácil
   checar que qualquer que seja o número colocado no lugar do X,
   terá como produto da operação o próprio
   X.
   
   
   Então
   podemos notar que o elemento neutro da multiplicação é
   o número 1.
   
   
   
4. Multiplicando-se
   dois números naturais o resultado será sempre um
   número natural que pode ser traduzido a propriedade do
   fechamento da multiplicação
   
   
   
   A
   pertence N e B pertence N (a.b) pertence N

* Divisão

É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na matemática em que se procura achar quantas vezes um número contém em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um todo que se dividiu.

À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de Quociente.

1) A divisão exata

Veja: 8 : 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 é o divisor, 0 é o resto

A prova do resultado é: 2 x 4 + 0 = 8

Propriedades da divisão exata

1. Na
   divisão em N não vale o fechamento, pois 5 : 3 não
   pertence a N
2. O
   conjunto N não têm elemento neutro em relação
   a divisão, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 não pertence a
   N. Logo 3:1 é diferente de 1:3
3. A
   divisão em N não tem a propriedade comutativa, pois 15
   : 5 é diferente de 5: 15
4. A divisão
   em N não tem a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 é
   diferente de 12 : (6:2) = 4
   

Pode-se afirmar que a divisão exata tem somente uma propriedade.

Observe este exemplo: (10 + 6) : 2 = 16 :2 = 8
(10+6):2 = 10:2 + 6 :2 = 8

O quociente não sofreu alteração alguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos então esta propriedade de distributiva da divisão exata válida somente para direita, com relação às operações de adição e subtração.

Um dos mandamentos da matemática é JAMAIS DIVIDA POR ZERO. Isto significa dizer que em uma operação o divisor tem que ser maior do que zero.

2) A divisão não-exata

Observe este exemplo: 9 : 4 é igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o quociente e 1 é o resto.

A prova do resultado é: 2 x 4 + 1 = 9

De um modo geral na divisão :

Operação divisão exata: D:d = q > d.q = D, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e o resto é subentendido “igual a zero”.

Operação divisão não-exata : D = d.q + r, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente, r é o resto.

Monômios

É uma expressão racional inteira representada por um produto de números reais

Exemplos:

(2/3) ax Lê-se dois terços de ax ou dois terços vezes a vezes x

Coeficiente: 2/3

Parte Literal: ax

-x

Coeficiente: -1

Parte Literal: x

Raiz de 5 a²b²

Coeficiente: raiz de 5

Parte Literal: a²b²

(xyz)/2

Coeficiente: 1/2

Parte Literal: xyz

Não são monômios

2ay/x porque não é inteira – possui variavel no denominador

Raiz de ay porque não é racional – possui variável sob radical

POLINÔMIOS

É a expressão algébrica representada por uma soma de monômios. “Batizamos” um polinômio com uma letra maiúscula do Nosso alfabeto

Exemplos:

A= ax² + bx + c

B= 4x² + 9y² + 16

C= x²/9 + y²/16

Alguns nomes especiais de polinômios:

Binômio

ex: 5x + 3y ; x² + 5x

Trinômio

ex: 2x +5y +3y; x³ +2x² - 5x

Definição Formal: Dados um número natural n e os números complexos a _n, a _n-1, a _n-2, ..., a ₂, a ₁ e a ₀, denomina-se função polinomial ou, simplesmente, polinômios em C à função dada por P(X) = a _{n X}ⁿ + a _{n-1 X}^n-1 + a _{n-2 X}^n-2 + ... + a _{2 X}² a _{1 X} e a ₀ para todo X pertencente aos complexos.

No polinômio P, temos:

a _n, a _n-1, a _n-2, ..., a ₂, a ₁, a ₀ são os coeficientes

a _{n X}ⁿ + a _{n-1 X}^n-1 + a _{n-2 X}^n-2 + ... + a _{2 X}² a ₁ são os termos do polinômio.

a _o é o termo independente de X

X é a variável.

Grau do Polinômio

Se a _n for diferente de zero então o expoente máximo n é dito grau do polinômio. Indicamos: gr(P) = n.

Exemplos:

Valor Numérico

O valor numérico de um polinômio P(x), para x = a, é o numero que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela expressão que defini o polinômio. Observe esta situação:

Se P(x) = x³ + 2x² – x -1, o valor numérico de P(x), para x=2 é:

P(2) = 2³ + 2 . 2² – 2 -1 , efetuando primeiro as potencias temos:

P(2) = 8 + 8 – 2 – 1, Calculando a expressão conclui-se que:

P(2) = 13

Portando, 13 é o valor numérico de P(x), para x = 2, e é a imagem do 2 pela função P(x).

Se P(a) = 0 então a é denominado a raiz ou zero de P(x)

Operações com os polinômios

Termos semelhantes

São aqueles que têm a parte literal idêntica

Operações com polinômios

Adição e subtração

Adicionar ou subtrair consiste em reduzir os termos semelhantes.

Exemplo

A=2x² - 3ax +5y

B=5x² – 4ax – 8y

A+B= 7x² – 7ax – 3y

A-B= (2x² - 3ax +5y)-( 5x² – 4ax – 8y)

A-B=2x² - 3ax +5y-5x² + 4ax + 8y

A-B= -3x² + 1ax + 13y

Com os conhecimentos adquirido até agora já podemos entender a adivinhação proposta no inicio deste trabalho. Veja:

Suponha que o número pensado seja 15, que pode ser escrito assim: 10+5

Soma dos algarismos: 1 + 5 = 6

O numero pensado menos a somados algarismos: 15 – 6 = 9

Agora analisamos o caso geral, veja que o numero pensado pode ser: 10, 11, ... até 19 ou seja pode ser escrito na seguinte forma: 10 + 0, 10 + 1, ... até 10 + 9. por isso vamos indica-lo por “10 + x ”. com efeito temos:

O numero pensado: 10 + x

Soma dos algarismos: 1 + x

O numero pensado menos a soma dos algarismos:

(10 + x) – (1 + x) = 10 + x – 1 + x = 9

Adição, subtração e multiplicação de polinômios.

A soma, a diferença e o produto de duas funções polinomiais complexas são também funções polinomiais complexas.

Observe que, se A(x) e B(x) são funções polinomiais, então:

Se duas funções têm coeficientes reais, a soma, a diferença e o produto também têm coeficientes reais.

Quando A(x) e B(x) possuem graus diferentes o grau de A(x) + B(x) ou A(x) - B(x) é igual ao maior grau entre ou graus de A(x) e B(x)

Quando A(x) e B(x) forem de mesmo grau, o grau de A(x) + B(x) ou A(x) - B(x) pode ser menor ou igual ao grau entre ou graus de A(x) e B(x), ou ainda, o polinômio restante pode ser nulo.

O grau de A(x) . B(x) é a soma de A(x) e B(x)

Polinômio identicamente nulo

Denomina-se polinômio identicamente nulo o polinômio que tem todos os coeficientes nulos

Identidade de polinômios

• Divisão
  de polinômios

Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo.

Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo:

1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x)

2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0

Nessa divisão:

P(x) é o dividendo.

D(x) é o divisor.

Q(x) é o quociente.

R(x) é o resto da divisão.

Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x).

Se D(x) é divisor de P(x) então R(x) = 0

Exemplo:

Determinar o quociente de P(x)=x⁴+x³-7x²+9x-1 por D(x)=x²+3x-2.

Resolução: Aplicando o método da chave, temos:

Divisão de um polinômio por um binômio da forma ax+b

Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x²-2x+3 por D(x)=2x-1.

U
tilizando o método da chave temos:

Logo: R(x)=3

A raiz do divisor é 2x-1=0 => x=1/2.

Agora calculamos P(x) para x=1/2.

P(1/2) = 4(1/4) – 2(1/2) + 3

P(1/2) = 3

Observe que R(x) = 3 = P(1/2)

Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual ao valor numérico de P(x) para x=1/2, isto é, a raiz do divisor.

• Teorema
  do resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a P(-b/a).

Note que –b/a é a raiz do divisor.

Exemplo: Calcule o resto da divisão de x²+5x-1 por x+1.

Resolução: Achamos a raiz do divisor:

x+1=0 => x=-1

Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1):

P(-1)=(-1)²+5.(-1)-1 => P(-1) = -5 = R(x)

Resposta: R(x) = -5.

• Teorema
  de D’Alembert

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0

Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x)=2x³+5x²-px+2 seja divisível por x-2.

Resolução: Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)=0.

P(2)=0 => 2.8+5.4-2p+2=0 => 16+20-2p+2=0 => p=19

Resposta: p=19.

• Divisão
  de um polinômio pelo produto (x-a)(x-b)

Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão do polinômio P(x) pelo produto (x-a)(x-b), sabendo-se que os restos da divisão de P(x) por (x-a) e por (x-b) são, respectivamente, r₁ e r₂.

Temos:

a é a raiz do divisor x-a, portanto P(a)=r₁ (eq. 1)

b é a raiz do divisor x-b, portanto P(b)=r₂ (eq. 2)

E para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + R(x) (eq. 3)

O resto da divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo:

R(x)=cx+d

Da eq.3 vem:

P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + d

Fazendo:

x=a => P(a) = c(a)+d (eq. 4)

x=b => P(b) = c(b)+d (eq. 5)

D
as equações 1, 2, 4 e 5 temos:

Resolvendo o sistema obtemos:

Observações:

1ª) Se P(x) for divisível por (x-a) e por (x-b), temos:

P(a)= r₁ =0

P(b)= r₂ =0

P
ortanto, P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b), pois:

2ª) Generalizando, temos:

Se P(x) é divisível por n fatores distintos (x-a₁), (x-a₂),..., (x-a_n) então P(x) é divisível pelo produto (x-a₁)(x-a₂)...(x-a_n).

Exemplo:

Um polinômio P(x) dividido por x dá resto 6 e dividido por (x-1) dá resto 8. Qual o resto da divisão de P(x) por x(x-1)?

Resolução:

0 é a raiz do divisor x, portanto P(0)=6 (eq. 1)

1 é a raiz do divisor x-1, portanto P(1)=8 (eq. 2)

E para o divisor x(x-1) temos P(x)=x(x-1) Q(x) + R(x) (eq. 3)

O resto da divisão de P(x) por x(x-1) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo:

R(x)=ax+b

Da eq.3 vem:

P(x)=x(x-1) Q(x) + ax + b

Fazendo:

x=0 => P(0) = a(0)+b => P(0) = b (eq. 4)

x=1 => P(1) = a(1)+b => P(1) = a+b (eq. 5)

Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

b=6

a+b=8

Logo, b=6 e a=2.

Agora achamos o resto: R(x) = ax+b = 2x+6

Resposta: R(x) = 2x+6.

• Divisão
  de um polinômio pelo binômio x – a 
  

» Dispositivo de Briot-Ruffini- ajuda a achar os coeficientes do quociente e do resto quando fazemos a divisão de um polinômio.

» Na primeira linha colocam-se os coeficientes dos termos do polinômio dividendo, na ordem decrescente de seus expoentes. Se faltar algum termo, coloca-se um zero no lugar.

» Na terceira linha, após o traço, aparecem os coeficientes do quociente. O último número da terceira linha, situado dentro do retângulo, é o resto da divisão (R).

Para aplicar corretamente o Dispositivo de Briot-Ruffini: na divisão, quando multiplicamos um termo do quociente pelo divisor, o multiplicamos por x  e por –a, mas depois mudamos seu sinal para subtraí-lo do dividendo. Por este motivo, dizemos que se multiplica por a, no Dispositivo de Briot-Ruffini.

  

Método das Raízes

Dispositivo Briot-Ruffini

Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1.

Resposta: Q(x)=3x²+x+3 e R(x)=4.

Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos:

1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da “cerquinha”.

2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo.

3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste.

4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente.

5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do quociente.

• Decomposição
  de um polinômio em fatores

Vamos analisar dois casos:

1º caso: O polinômio é do 2º grau.

De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax²+bx+c que admite as raízes r₁ e r₂ pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte forma:

ax²+bx+c=a(x-r₁)(x-r₂)

Exemplos:

1. Fatorar
   o polinômio P(x)=x²-4.

Resolução: Fazendo x²-4=0, obtemos as raízes r₁=2 e r₂=-2.

Logo: x²-4 = (x-2)(x+2).

2. Fatorar
   o polinômio P(x)=x²-7x+10.

Resolução: Fazendo x²-7x+10=0, obtemos as raízes r₁=5 e r₂=2.

Logo: x²-7x+10 = (x-5)(x-2).

2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3.

Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do 2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também.

Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x³-x²-x.

Resolução:

2x³-x²-x = x.(2x²-x-1)  colocando x em evidência

Fazendo x.(2x²-x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x²-x-1=0.

Uma das raízes já encontramos (x=0).

As outras duas saem da equação: 2x²-x-1=0 => r₁=1 e r₂=-1/2.

Portanto, o polinômio 2x³-x²-x, na forma fatorada é:

2.x.(x-1).(x+(1/2)).

Generalizando, se o polinômio P(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ admite n raízes r₁, r₂,..., r_n, podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma:

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ = a_n(x-r₁)(x-r₂)...(x-r_n)

Observações:

1. Se
   duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc.
2. Uma raiz r₁ do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r₁)² e não por (x-r₁)³.

Multiplique sua idade por 4

Soma 20 ao resultado encontrado anteriormente

Subtraia o dobro da sua idade com o valor encentrado anteriormente

Tire 10 do resultado encontrado

Some o triplo da sua idade com o resultado encontrado

Agora fale qual foi o valor encontrado depois de todas essas operações.

R: 5x+10

Calculo mental e abreviado

ex: 97*93 = (9+1)*100 + 7*3 = 1021

     85*85 = (8+1)*100 + 5*5 = 7225

     27*23 = (2+1)*100 + 7*3 = 321

Observe que aumentamos uma unidade nas dezenas e multiplicamos por cem e somamos com o produto das unidades.

Atenção isso só acontece quando as dezenas são iguais e a soma das unidades é 100.

bibliografia

http://www.somatematica.com.br/emedio2.php

http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos002.asp

http://matematiques.sites.uol.com.br/resumao/resumpoli.htm

http://www.matematicamagica.com.br/Seis.JPG