Função do
1º grau
Vamos iniciar
o estudo da função
do 1º grau, lembrando o
que é uma correspondência:
Correspondência:
é qualquer conjunto de
pares ordenados onde o primeiro
elemento pertence ao primeiro
conjunto dado e o segundo elemento
pertence ao segundo conjunto
dado.
Assim:
Dado os conjuntos A={1,2,3}
e B={1,2,3,4,5,6} consideremos
a correspondência de A
em B, de tal modo que cada elemento
do conjunto A se associa no
conjunto B com o seu sucessor.
Assim ; ; . A correspondência
por pares ordenados seria:
Noções
de função:
Considere os diagramas
abaixo:
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Condições
de existência:
|
|
(1)
Todos
os elementos
de x
têm
um correspondente
em y. |
|
(2)
Cada
elemento
de x
tem
um e
somente
um correspondente
em y. |
|
Analisando os diagramas
acima:
O
diagrama 1 não satisfaz a condição (1);
os diagramas 3, 4 e 5 não satisfazem
a condição (2).
Logo, somente o diagrama
2 representa uma função.
Domínio,
Contradomínio e Imagem
Observe o diagrama
a seguir:
Chamemos esta função
de f, logo o conjunto de pares
ordenados serão:
f={(1,2),(2,3),(3,4)}
O conjunto X={1,2,3}
denomina-se domínio da
função f.
D(F)=X
O
conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se
contradomínio da
função f.
C(F)=Y
Dizemos que 2 é
a imagem de 1 pela função
f.
f(1)=2
Ainda, f(2)=3 e f(3)=4.
Logo o conjunto
das imagens de f e
dado por:
Im(f)={2,3,4}
Determinação
de função:
Observe:
1) Associe cada elemento
de X com o seu consecutivo:
2) Associe cada elemento de
X com a sua capital.
3) Determine o conjunto imagem
de cada função:
a)
D(f) = {1,2,3} y
= f(x) = x + 1
[Sol]
f(1) = 1+1 = 2 f(2)
= 2+1 = 3 f(3)
=3+1 = 4
Logo:
Im(f)={2,3,4}
b)
D(f) = {1,3,5} y
= f(x) = x²
[Sol]
f(1) = 1² = 1 f(3)
= 3² = 9 f(5)
= 5² = 25
Logo:
Im(f)={1,9,25}
Plano cartesiano
Consideremos dois
eixos x e y perpendiculares
em 0, os quais determinam o
plano A. Dado um plano P
qualquer, pertencente ao plano
A, conduzamos por ele duas retas:
x // x' e y // y'
Denominemos P1 a interseção
de x com y' e P2 a interseção
de y com x'
Nessas condições,
definimos: - Abscissa de
P é um número
real representado por P1
- Ordenada de P é um
número real representado
por P2 - A coordenada de
P são números
reais x' e y' , geralmente indicados
na forma de par ordenado (
x' , y' ) - O eixo das abscissas
é o eixo x - O eixo
das ordenadas é o eixo
y - A origem do sistema
é o ponto 0
- Plano cartesiano é
o plano A.
Depois
desta revisão, vamos
finalmente ver a Função
do 1º grau!
Exemplo:
Numa
loja, o salário fixo
mensal de um vendedor é
500 reais. Além disso,
ele recebe de comissão
50 reais por produto vendido.
a)
Escreva uma equação
que expresse o ganho mensal
y desse vendedor, em função
do número x de produto
vendido.
[Sol]
y=salário fixo + comissão
y=500
+ 50x
b)
Quanto ele ganhará no
final do mês se vendeu
4 produtos?
[Sol]
y=500+50x , onde x=4 y=500+50.4
= 500+200 = 700
c)
Quantos produtos ele vendeu
se no final do mês recebeu
1000 reais?
[Sol]
y=500+50x , onde y=1000
1000=500+50x
» 50x=1000-500
» 50x=500
» x=10
A
relação assim
definida por uma equação
do 1º grau é denominada
função
do 1º grau, sendo
dada por:
Gráfico
da função do 1º
grau:
O
gráfico de
uma função
do 1º grau
de R em R é
uma reta. |
Exemplo:
1)
Construa o gráfico da
função determinada
por f(x)=x+1:
[Sol]
Atribuindo valores reais para
x, obtemos seus valores correspondentes
para y.
x |
y=f(x)=x+1 |
-2 |
-1 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
|
O
conjunto dos pares
ordenados determinados
é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}
|
2) Construa o
gráfico da função
determinada por f(x)=-x+1.
[Sol] Atribuindo valores
reais para x, obtemos seus valores
correspondentes para y.
x |
y=f(x)=-x+1 |
-2 |
3 |
-1 |
2 |
0 |
1 |
1 |
0 |
2 |
-1 |
|
O
conjunto dos pares
ordenados determinados
é f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}
|
Gráficos crescente e
decrescente respectivamente:
y
= x+1 ( a> 0
) ; onde a = 1 |
|
Função
crescente |
y
= -x+1 ( a<0
); onde a=-1
|
|
Função
decrescente |
Raiz ou zero
da função do 1º
grau:
Para
determinarmos a
raiz ou zero de
uma função
do 1º grau,
definida pela equação
y=ax+b, como a é
diferente de 0,
basta obtermos o
ponto de intersecção
da equação
com o eixo x, que
terá como
coordenada o par
ordenado (x,0). |
|
1) Considere
a função dada
pela equação y=x+1,
determine a raiz desta função.
[Sol] Basta determinar
o valor de x para termos y=0
x+1=0 »
x=-1
Dizemos que -1 é
a raiz ou zero da função.
Note que o gráfico da
função y=x+1,
interceptará (cortará)
o eixo x em -1, que é
a raiz da função.
2)
Determine a raiz da função
y=-x+1 e esboce o gráfico.
[Sol]
Fazendo y=0, temos: 0
= -x+1 » x
= 1
Gráfico:
Note que o gráfico da
função y=-x+1,
interceptará (cortará)
o eixo x em 1, que é
a raiz da função.
Sinal de uma função
de 1º grau:
Observe os gráficos:
|
|
a>0 |
a<0 |
Note que para x=-b/a,
f(x)=0 (zero da função).
Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo
sinal de a. Para x<-b/a,
f(x) tem o sinal contrário
ao de a.
Exemplos:
1)
Determine o intervalo das seguintes
funções para que
f(x)>0 e f(x)<0.
a)
y=f(x)=x+1
[Sol]
x+1>0 » x>-1
Logo,
f(x) será maior que 0
quando x>-1
x+1<0
» x<-1
Logo,
f(x) será menor que 0
quando x<-1
b)
y=f(x)=-x+1
[Sol]*
-x+1>0 » -x>-1
» x<1
Logo, f(x) será maior
que 0 quando x<1
-x+1<0
» -x<-1
» x>1
Logo,
f(x) será menor que 0
quando x>1
(*ao
multiplicar por -1, inverte-se
o sinal da desigualdade)
|