A função potência é qualquer função da forma f(x)=xⁿ, onde n é um número natural. Para determinar a derivada desta função é habitual utilizar a expansão do binómio de Newton, (x+h)ⁿ, na respectiva definição

No entanto, a demostração desta identidade baseia-se fundamentalmente em ideias de combinatória. Deste modo, decidi apresentar uma forma de determinar a derivada da função potência sem o recurso ao binómio.

Começo por fazer a observação de que 0≤x². Com base nesta desigualdade é possível mostrar por indução que (1+x)ⁿ≥1+nx, para todo o x>-1. De facto a identidade é trivialmente verdadeira para n=1. Suponhamos que também é verdadeira para n. Temos, se x>-1:

(1+x)ⁿ⁺¹=(1+x)ⁿ(1+x)≥(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx²≥1+(n+1)x

como pretendia mostrar. A desigualdade (1+x)ⁿ≥1+nx é conhecida por desigualdade de Bernoulli. Daqui também retiramos, se h>-x,

(x+h)ⁿ=xⁿ(1+h/x)ⁿ≥xⁿ+nhx^n-1

Por outro lado, é verdade que (1+x)(1-x)=1-x²≤1. Se -1<x<1, de forma que os factores x+1 e 1-x sejam positivos, vale a desigualdade 1/(1+x)≥1-x. Daqui vimos que (1+x)^-n≥1-nx, resultando na desigualdade

(x+h)ⁿ≤xⁿ/(1-nh/x), -x<h<x

A derivada da função no ponto 0 da função potência é 0, como resulta da definição. Se x≠0, e como pretendemos fazer h tender a zero, a partir de um valor h≠0 suficientemente pequeno, temos sempre -x<h<x e o enquadramento

Fazendo h tender a zero em cada membro, verificamos que (xⁿ)’=nx^n-1, como era pretendido.

Esta prova é curiosa uma vez que não depende do binómio. Por outro lado, com o auxílio da expansão em série de Taylor com resto de Lagrange podemos deduzir daqui a expansão do binómio de uma forma completamente analítica.